Question

11．設函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，其中a∈R．
①若f（x）在x=3處取得極值，求常數(shù)a的值；
②若f（x）在（1，3）上不單調(diào)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 解①f′（x）=6（x-a）（x-1），由f（x）在x=3處取得極值，可得f′（3）=0，解得a即可得出．
②令f′（x）=6（x-a）（x-1）=0，解得x=a或1．對a分類討論：當a≤1時；當1＜a＜3時，；當a≥3時．研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：①f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1），
∵f（x）在x=3處取得極值，
∴f′（3）=6（3-a）（3-1）=0，解得a=3．
經(jīng)過檢驗，當a=3時，x=3為函數(shù)f（x）的極值點．
②令f′（x）=6（x-a）（x-1）=0，解得x=a或1．當a≤1時，f′（x）≥0，可知：函數(shù)f（x）在（1，3）上單調(diào)遞增，不合題意舍去；
當1＜a＜3時，當1＜x＜a時，f′（x）＜0，可知：函數(shù)f（x）在（1，3）上單調(diào)遞減；當a＜x＜3時，f′（x）＞0，可知：函數(shù)f（x）在（1，3）上單調(diào)遞增，滿足題意；
當a≥3時，f′（x）＜0，可知：函數(shù)f（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，不合題意舍去．
綜上可得：a的取值范圍是（1，3）．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于難題．