Question

17．函數(shù)f（x）=x³-x²-x+m，（m∈R）
（1）求f（x）的極值；
（2）當(dāng)m在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，曲線y=f（x）與直線y=1有三個(gè)不同的交點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求f′（x），求f′（x）=0的實(shí)數(shù)根，從而根據(jù)f′（x）的符號(hào)即可求得f（x）的極大值和極小值；
（2）根據(jù)f（x）的單調(diào)性及極值，畫出f（x）的大致圖象，根據(jù)圖象即可求出使曲線y=f（x）與直線y=1有三個(gè)不同的交點(diǎn)的m的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2x-1；
令f′（x）=0得，x=$-\frac{1}{3}$，或1；
∴$x∈（-∞，-\frac{1}{3}）$時(shí)，f′（x）＞0，x∈$（-\frac{1}{3}，1）$時(shí)，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴x=$-\frac{1}{3}$時(shí)，f（x）取得極大值$\frac{5}{27}+m$；x=1時(shí)，f（x）取得極小值m-1；
（2）畫出f（x）和y=1的圖象如下：
由圖象可以看出，要使曲線y=f（x）與直線y=1有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則：
f（x）的極大值$\frac{5}{27}+m＞1$；
∴$m＞\frac{22}{27}$；
∴滿足條件的m的范圍為$（\frac{22}{27}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)極值的概念，及求極值的方法與過程，數(shù)形結(jié)合的解題方法．