Question

3．若對任意的正實數(shù)t，函數(shù)f（x）=（x-t）³+（x-lnt）³-3ax在R上都是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $（-∞，\frac{1}{2}]$
• B． $（-∞，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• C． $（-∞，\sqrt{2}]$
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 利用f（x）=（x-t）³+（x-lnt）³-3ax在R上都是增函數(shù)，可得f′（x）=3（x-t）²+3（x-lnt）²-3a≥0在R上恒成立，分離參數(shù)a≤（x-t）²+（x-lnt）²，再求出右邊的最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=（x-t）³+（x-lnt）³-3ax在R上都是增函數(shù)，
∴f′（x）=3（x-t）²+3（x-lnt）²-3a≥0在R上恒成立，
∴a≤（x-t）²+（x-lnt）²，
（x-t）²+（x-lnt）²=2（x-$\frac{t+lnt}{2}$）²+$\frac{（t-lnt）^{2}}{2}$≥$\frac{（t-lnt）^{2}}{2}$，
令y=t-lnt，則y′=1-$\frac{1}{t}$，
∴（0，1）上，y′＜0，（1，+∞）上，y′＞0，
∴t=1時，y_min=1，
∴$\frac{（t-lnt）^{2}}{2}$的最小值為$\frac{1}{2}$，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確分離參數(shù)求最值是關(guān)鍵．