Question

15．已知a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，若a₁=$\frac{1}{2}$
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值，并猜想a_n的表達(dá)式；
（2）并用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想．

Answer 1

分析 （1）分別令n=2，3，4，5，代入數(shù)列的遞推式能夠依次求出a₂，a₃，a₄，a₅的值，并猜想a_n的表達(dá)式；
（2）猜想出數(shù)列的遞推式，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答 （1）解：n分別取2，3，4，5，
得到a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{4}{5}$，a₄=$\frac{8}{9}$，a₅=$\frac{16}{17}$．
猜想a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$；
（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$，命題成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即a_k=$\frac{{2}^{k-1}}{{2}^{k-1}+1}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=$\frac{2•\frac{{2}^{k-1}}{{2}^{k-1}+1}}{1+\frac{{2}^{k-1}}{{2}^{k-1}+1}}$=$\frac{{2}^{k}}{{2}^{k}+1}$，
故命題也成立．                     
由①②可得，對一切n∈N₊都有a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$成立．

點(diǎn)評 考查根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立．證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，是解題的難點(diǎn)．