Question

10．2015年10月18日青運(yùn)會(huì)開(kāi)幕，為了更好的迎接青運(yùn)會(huì)，做好夏季降溫的同時(shí)要減少能源損耗．福州市海峽奧體中心的體育館外墻需要建造隔熱層．體育館要建造可使用30年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為2萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C萬(wàn)元與隔熱層厚度xcm滿足關(guān)系：C（x）=$\frac{k}{x+5}$（0≤x≤10，k為常數(shù)），若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為3萬(wàn)元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費(fèi)用與30年的能源消耗費(fèi)用之和．
（1）求k的值及f（x）的表達(dá)式；
（2）隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最�。坎⑶笞钚≈担�

Answer 1

分析 （1）由該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C萬(wàn)元與隔熱層厚度xcm滿足關(guān)系：C（x）=$\frac{k}{x+5}$（0≤x≤10，k為常數(shù)），若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為3萬(wàn)元．我們可得C（0）=3，得k=15，進(jìn)而得到f（x）的表達(dá)式；
（2）由（1）中所求的f（x）的表達(dá)式，我們利用基本不等式求出總費(fèi)用f（x）的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，c=3，∴k=15，…（2分）∴$C（x）=\frac{15}{x+5}$…（3分）
∴$f（x）=2x+\frac{30×15}{x+5}=2x+\frac{450}{x+5}（{0≤x≤10}）$…（6分）（定義域沒(méi)寫扣1分）
（2）f（x）=2（x+5）+$\frac{450}{x+5}$-10≥50，
當(dāng)且僅當(dāng)2（x+5）=$\frac{450}{x+5}$，即x=10時(shí)，取等號(hào)，
∴x=10時(shí)f（x）有最小值為50…（11分）
答：隔熱層修建10cm厚時(shí)，總費(fèi)用f（x）達(dá)到最小，最小值為50萬(wàn)元．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過(guò)析題→建�！�解�！�還原四個(gè)過(guò)程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問(wèn)題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（�。┗瘑�(wèn)題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問(wèn)題中，最常見(jiàn)的思路之一．