Question

15．已知函數(shù)$f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分圖象如圖所示，A、B、C分別是函數(shù)圖象與x軸交點、圖象的最高點、圖象的最低點．若f（0）=$\sqrt{3}$，
且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{{π}^{2}}{8}$-8．則f（x）的解析式為（　�。�

• A． f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
• B． f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
• C． f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）
• D． f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 由圖可設A（a，0），函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）的周期為T，則B（a+$\frac{T}{4}$，2），C（a+$\frac{3T}{4}$，-2），易求$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{T}{4}$，2），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{T}{2}$，-4），利用向量的坐標運算，將已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{{π}^{2}}{8}$-8坐標化整理，可求得T，從而可得ω的值，由f（0）=2sinφ=$\sqrt{3}$，又|φ|$＜\frac{π}{2}$，從而可解得φ的值，即可解得f（x）的解析式．

解答 解：設A（a，0），函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）的周期為T，則B（a+$\frac{T}{4}$，2），C（a+$\frac{3T}{4}$，-2），
∴$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{T}{4}$，2），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{T}{2}$，-4），
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{{π}^{2}}{8}$-8，
∴$\frac{{T}^{2}}{8}$-8=$\frac{{π}^{2}}{8}$-8，
整理得：T²=π²，
∴T=π，
解得：ω=$\frac{2π}{π}$=2，故有：f（x）=2sin（2x+φ），
∵f（0）=2sinφ=$\sqrt{3}$，可得sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又|φ|$＜\frac{π}{2}$，解得：φ=$\frac{π}{3}$．
∴f（x）的解析式為：2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象解析式的確定，著重考查向量的數(shù)量積的坐標運算及其應用，屬于中檔題．