Question

17．已知a+b=4（b＞0），當(dāng)a=x₀時(shí)，$\frac{1}{|a|}$+$\frac{|4a|}$取得最小值y₀，則點(diǎn)P（x₀，y₀）的坐標(biāo)為（-$\frac{4}{3}$，$\frac{7}{4}$）．

Answer 1

分析 $\frac{1}{|a|}$+$\frac{|4a|}$轉(zhuǎn)化為$\frac{a}{4|a|}$+$\frac{4|a|}$+$\frac{|4a|}$，再利用基本不等式，得到取的最小值的等號(hào)成立的條件，解得即可．

解答 解：∵a+b=4（b＞0），
∴$\frac{1}{|a|}$+$\frac{|4a|}$=$\frac{a+b}{4|a|}$+$\frac{4|a|}$=$\frac{a}{4|a|}$+$\frac{4|a|}$+$\frac{|4a|}$≥$\frac{a}{4|a|}$+2，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4|a|}$=$\frac{|4a|}$取等號(hào)，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+b=4}\\{^{2}=16{a}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{5}}\\{b=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
當(dāng)a=$\frac{4}{5}$時(shí)，$\frac{1}{|a|}$+$\frac{|4a|}$最小值為$\frac{9}{4}$，
當(dāng)a=-$\frac{4}{3}$時(shí)，$\frac{1}{|a|}$+$\frac{|4a|}$最小值為$\frac{7}{4}$，
綜上所述，當(dāng)a=x₀=-$\frac{4}{3}$時(shí)，$\frac{1}{|a|}$+$\frac{|4a|}$取得最小值y₀=$\frac{7}{4}$．
∴則點(diǎn)P（x₀，y₀）的坐標(biāo)為（-$\frac{4}{3}$，$\frac{7}{4}$），
故答案為：（-$\frac{4}{3}$，$\frac{7}{4}$），

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題．