Question

8．已知函數(shù)f（x）=sinxcosxcosφ+cos²xsinφ+$\frac{1}{2}$sin（π+φ）（0＜φ＜π），其圖象過點（$\frac{π}{4}，\frac{1}{4}$）
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)f（x）的圖象過點（$\frac{π}{4}，\frac{1}{4}$），求得cosφ的值，可得φ的值．
（Ⅱ）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)g（x）在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sinxcosxcosφ+cos²xsinφ+$\frac{1}{2}$sin（π+φ）=$\frac{1}{2}$sin2xcosφ+$\frac{1+cos2x}{2}$sinφ-$\frac{1}{2}$sinφ=$\frac{1}{2}$sin（2x+φ），
且f（x）的圖象過點（$\frac{π}{4}，\frac{1}{4}$），
∴$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{2}$+φ）=$\frac{1}{2}$cosφ=$\frac{1}{4}$，∴cosφ=$\frac{1}{2}$．
結(jié)合0＜φ＜π，求得φ=$\frac{π}{3}$，故f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）=$\frac{1}{2}$sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{3}$]=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$） 的圖象，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈z，故函數(shù)g（x）的增區(qū)間為[得kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．
再根據(jù)x∈[0，π]，可得g（x）的增區(qū)間為[0，$\frac{π}{6}$]、[$\frac{2π}{3}$，π]．

點評 本題主要考查三角恒等變換，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的增區(qū)間，屬于中檔題．