Question

7．經(jīng)過橢圓x²+2y²=2的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l，交橢圓于M，N兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$等于（　　）

• A． -3
• B． ±$\frac{1}{3}$
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由橢圓x²+2y²=2可求橢圓的焦點(diǎn)為F（±1，0），不妨設(shè)所作直線l過焦點(diǎn)（1，0），可得直線L：y=x-1，聯(lián)立可求A，B．然后由$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂，代入可求．

解答 解：∵橢圓x²+2y²=2中a=$\sqrt{2}$，b=1
∴c=1
橢圓的焦點(diǎn)為F（±1，0）
不妨設(shè)所作傾斜角為45°的直線l過焦點(diǎn)（1，0），故直線L：y=x-1
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\{x}^{2}+2{y}^{2}=2\end{array}\right.$消去y可得，3x²-4x=0
解方程可得，x₁=0，x₂=$\frac{4}{3}$
代入直線y=x-1可得，y₁=-1，y₂=$\frac{1}{3}$
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=-$\frac{1}{3}$
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示等知識(shí)的綜合應(yīng)用，屬于綜合性試題．