Question

15．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為E，當(dāng)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，y₁）時(shí)，△AEF為正三角形，則此時(shí)△OAB的面積為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 過(guò)F作AE的垂線，垂足為H，則H為AE的中點(diǎn)，利用A點(diǎn)坐標(biāo)為 （3，y₀），可求p，可得拋物線的方程，求出直線AF的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出A，B的坐標(biāo)，即可求出△OAB的面積．

解答 解：如圖所示，過(guò)F作AE的垂線，垂足為H，則H為AE的中點(diǎn)，
因?yàn)锳點(diǎn)坐標(biāo)為 （3，y₁），
所以AE=3+$\frac{p}{2}$，EH=p，
所以2p=3+$\frac{p}{2}$，
所以p=2．
所以y²=4x，此時(shí)A（3，2$\sqrt{3}$），k_AF=$\sqrt{3}$，
所以直線AF的方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），
代入拋物線方程可得3（x-1）²=4x，解得x=3或$\frac{1}{3}$，
所以y=2$\sqrt{3}$或-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以△AOB的面積為$\frac{1}{2}$×1×（2$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，正確運(yùn)用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵．