Question

13．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n+（1-$\frac{n}{n+2}$），則{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{{n}^{2}+n-1}{{n}^{2}+n}$．

Answer 1

分析 通過對(duì)a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n+（1-$\frac{n}{n+2}$）變形可知a_n+1-1=$\frac{n}{n+2}$（a_n-1），從而利用$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}$=$\frac{n-1}{n+1}$、$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-2}-1}$=$\frac{n-2}{n}$、…、$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{3}$累乘可知$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n+（1-$\frac{n}{n+2}$），
∴a_n+1-1=$\frac{n}{n+2}$（a_n-1），
∴$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n-1}-1}$=$\frac{n-1}{n+1}$，$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-2}-1}$=$\frac{n-2}{n}$，…，$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{1}{3}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{1}-1}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
∴a_n-1=$\frac{2}{n（n+1）}$（a₁-1）=$\frac{2}{n（n+1）}$•（$\frac{1}{2}-1$）=-$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴a_n=1-$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{{n}^{2}+n-1}{{n}^{2}+n}$，
故答案為：$\frac{{n}^{2}+n-1}{{n}^{2}+n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形及利用累乘法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．