Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．并寫出a_n；
（2）若數(shù)列{$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為T_n．問滿足T_n＞$\frac{100}{209}$的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

分析 （1）通過a_n=S_n-S_n-1計(jì)算、整理可知a_n=a_n-1+2，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）、裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并項(xiàng)相加可知T_n=$\frac{n}{2n+1}$，進(jìn)而解不等式$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{100}{209}$、計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵S_n=na_n-n（n-1），
∴S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）（n≥2），
∴a_n=S_n-S_n-1
=[na_n-n（n-1）]-[（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）]
=na_n-（n-1）a_n-1+（n-1）（n-2）-n（n-1），
整理得：a_n=a_n-1+2，
又∵a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）解：由（1）可知$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
∴T_n＞$\frac{100}{209}$，即$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{100}{209}$，
解得：n＞$\frac{100}{9}$=11+$\frac{1}{9}$，
∴滿足條件的最小正整數(shù)n是12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，利用裂項(xiàng)相消法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．