Question

5．已知等差數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng)和S₆=48，a₁=3．
（1）求通項(xiàng)公式a_n及其前n項(xiàng)的和S_n；
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由等差數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得d=2，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（2）由$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和方法，即可得到所求數(shù)列的求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則6a₁+$\frac{6×5}{2}$d=48，又a₁=3．
即有d=2，
則有a_n=a₁+（n-1）d=2n+1；
S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=3n+n（n-1）=n²+2n；
（2）$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
即有T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．