Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足4S_n=（a_n+1）²．設b_n=a${\;}_{{2}^{n-1}}$，T_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*），則T_n=-2-n+2ⁿ⁺¹，當T_n＞2015時，n的最小值為10．

Answer 1

分析 通過4S_n=（a_n+1）²與4S_n+1=（a_n+1+1）²作差、整理得（a_n+1-1）²=（a_n+1）²，進而數(shù)列{a_n}是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，通過b_n=2ⁿ-1可知T_n=-2-n+2ⁿ⁺¹，進而解不等式T_n＞2015即-n+2ⁿ⁺¹＞2017，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵4S_n=（a_n+1）²，
∴4S_n+1=（a_n+1+1）²，
兩式相減得：4a_n+1=（a_n+1+1）²-（a_n+1）²，
整理得：（a_n+1-1）²=（a_n+1）²，
又∵數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，
∴a_n+1-1=a_n+1，即a_n+1=a_n+2，
又∵4S₁=4a₁=（a₁+1）²，即a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1，
∴b_n=${a}_{{2}^{n-1}}$=2•2^n-1-1=2ⁿ-1，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n
=-2-n+2ⁿ⁺¹，
依題意T_n＞2015即-n+2ⁿ⁺¹＞2017，
解得：n≥10，
故答案為：-2-n+2ⁿ⁺¹，10．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．