Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+1（x＜1）}\\{\frac{lnx}{x}（x≥1）}\end{array}\right.$，參數(shù)k∈[-1，1]，則方程f（x）-kx=0有四個(gè)實(shí)數(shù)根的概率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2e}$
• D． $\frac{1}{4e}$

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）的圖象，要使方程f（x）-kx=0有四個(gè)實(shí)數(shù)根，只要函數(shù)f（x）與直線y=kx由四個(gè)交點(diǎn)即可，利用數(shù)形結(jié)合求k的范圍以及導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，然后利用幾何概型公式求概率．

解答 解：函數(shù)f（x）的圖形如圖，要使方程f（x）-kx=0有四個(gè)實(shí)數(shù)根，
即使直線y=kx與函數(shù)f（x）圖象有四個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)直線y=kx與f（x）相切時(shí)，
設(shè)切線斜率為k，（k＞0），切點(diǎn)為（m，n），
則剛x≥1時(shí)，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
則k=f′（m）=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$，
則對(duì)應(yīng)的切線方程為y-n=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$（x-m），
即y=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$x-$\frac{1-lnm}{m}$+$\frac{lnm}{m}$，
∵切線方程為y=kx，
則k=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$，-$\frac{1-lnm}{m}$+$\frac{lnm}{m}$=0，
即2lnm=1，解得m=$\sqrt{e}$，
此時(shí)k=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$=$\frac{1-ln\sqrt{e}}{e}$=$\frac{1}{2e}$，
則方程f（x）-kx=0有四個(gè)實(shí)的k的范圍是（0，$\frac{1}{2e}$），
又k∈[-1，1]，由幾何概型的公式可得方程f（x）-kx=0有四個(gè)實(shí)數(shù)根的概率為P=$\frac{\frac{1}{2e}}{2}=\frac{1}{4e}$；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何概型的概率公式的應(yīng)用，方程根的個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率；利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．，綜合性較強(qiáng)難度較大．