Question

3．2015年12月6日寧安高鐵正式通車后，極大地方便了沿線群眾的出行生活．小明與小強(qiáng)都是在蕪湖工作的馬鞍山人，他們每周五下午都乘坐高鐵從蕪湖返回馬鞍山．因?yàn)楣ぷ鞯男枰�，小明每次都�?5：30至18：30時(shí)間段出發(fā)的列車中任選一車次乘坐；小強(qiáng)每次都在16：00至18：30時(shí)間段出發(fā)的列車中任選一車次乘坐．（假設(shè)兩人選擇車次時(shí)都是等可能地隨機(jī)選取）
（Ⅰ）求2016年1月8日（周五）小明與小強(qiáng)乘坐相同車次回馬鞍山的概率；
（Ⅱ）記隨機(jī)變量X為小明與小強(qiáng)在1月15日（周五），1月22日（周五），1月29日（周五）這3天中乘坐的車次相同的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
附：2016年1月10日至1月31日每周五下午蕪湖站至馬鞍山東站的高鐵時(shí)刻表．

車次	蕪湖發(fā)車	到達(dá)馬鞍山東	耗時(shí)
G7174	13：37	14：02	25分鐘
G7178	15：05	15：24	19分鐘
D5606	15：37	16：02	25分鐘
D5608	17：29	17：48	19分鐘
G7088	18：29	18：48	19分鐘

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)“2016年1月29日（周五）小明與小強(qiáng)兩人乘坐同一趟列車回馬鞍山”為事件A，由題意，小明可選擇的列車有3趟，小強(qiáng)可選擇的列車有2趟，其中兩人可以同時(shí)乘坐的有2趟．由此能求出
小明與小強(qiáng)乘坐相同車次回馬鞍山的概率．
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，由題意，X～B（3，$\frac{1}{3}$），由此能求出隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)“2016年1月29日（周五）小明與小強(qiáng)兩人乘坐同一趟列車回馬鞍山”為事件A，
由題意，小明可選擇的列車有3趟，小強(qiáng)可選擇的列車有2趟，其中兩人可以同時(shí)乘坐的有2趟．
所以$P（A）=\frac{C_2^1}{C_3^1•C_2^1}=\frac{1}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，由題意，X～B（3，$\frac{1}{3}$），
$P（X=0）=C_3^0{（\frac{1}{3}）^0}{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$，
$P（X=1）=C_3^1{（\frac{1}{3}）^1}{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{4}{9}$，
$P（X=2）=C_3^2{（\frac{1}{3}）^2}{（\frac{2}{3}）^1}=\frac{2}{9}$，
$P（X=3）=C_3^3{（\frac{1}{3}）^3}{（\frac{2}{3}）^0}=\frac{1}{27}$．…（9分）
隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
p	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{27}$

$EX=0×\frac{8}{27}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{2}{9}+3×\frac{1}{27}=1$（或$EX=3×\frac{1}{3}=1$）．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．