Question

13．已知函數(shù)$f（x）=sin（π-x）sin（\frac{π}{2}-x）+\sqrt{3}{cos^2}（π+x）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則$f（\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；該函數(shù)在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上的最小值為-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：$f（x）=sin（π-x）sin（\frac{π}{2}-x）+\sqrt{3}{cos^2}（π+x）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$（1+cos2x）
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則$f（\frac{π}{4}）$=sin（2×$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=cos$\frac{π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}$，
∴-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值，
此時(shí)最小值為sin（-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)值的求解以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．