Question

13．若曲線C₁：y=ax²（a＞0）與曲線C₂：y=e^-x有公共切線，則a的取值范圍是[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)相等列方程，再由方程有根轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有交點(diǎn)求得a的范圍

解答 解：設(shè)公切線與曲線C₁切于點(diǎn)（x₁，ax₁²），與曲線C₂切于點(diǎn)（x₂，${e}^{-{x}_{2}}$），
則曲線C₁的導(dǎo)數(shù)為y′=2ax，C₂的導(dǎo)數(shù)為y′=-e^-x．
則2ax₁=-${e}^{-{x}_{2}}$=$\frac{{e}^{-{x}_{2}}-a{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
將${e}^{-{x}_{2}}$=-2ax₁代入2ax₁=$\frac{{e}^{-{x}_{2}}-a{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，可得2x₂=x₁-2，
∴a=-$\frac{{e}^{-\frac{{x}_{1}}{2}+1}}{2{x}_{1}}$，
記f（x）=-$\frac{{e}^{-\frac{x}{2}+1}}{2x}$，
則f′（x）=$\frac{{e}^{-\frac{x}{2}+1}（x+2）}{4{x}^{2}}$，當(dāng)x∈（-∞，-2）時(shí)，f′（x）＜0．
當(dāng)x∈（-2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）_min=f（-2）=-$\frac{{e}^{2}}{-4}$=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
∴a的范圍是[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）．
故答案為：[$\frac{{e}^{2}}{4}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．