Question

12．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中點．
（1）求證：AC⊥平面BDEF；
（2）求二面角H-BD-C的大�。�

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性質(zhì)可證AC與平面BDEF垂直；
（2）以O(shè)為原點，OB，OC，ON所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDH、平面BCD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角H-BD-C的大小．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（2）解：設(shè)AC∩BD=O，取EF的中點N，連接ON，
∵四邊形BDEF是矩形，O，N分別為BD，EF的中點，
∴ON∥ED，
∵ED⊥平面ABCD，
∴ON⊥平面ABCD，
由AC⊥BD，得OB，OC，ON兩兩垂直．
∴以O(shè)為原點，OB，OC，ON所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，
∴B（1，0，0），D（-1，0，0），H（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）
∴$\overrightarrow{BH}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（2，0，0）．
設(shè)平面BDH的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}y+3z=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$
令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-$\sqrt{3}$，1）
由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量為$\overrightarrow{ED}$=（0，0，-3），
則cos＜$\overrightarrow{ED}$，$\overrightarrow{n}$＞=-$\frac{1}{2}$，
由圖可知二面角H-BD-C為銳角，
∴二面角H-BD-C的大小為60°

點評 本題考查面面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直，考查面面角，考查向量法的運用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．