Question

2．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=$\frac{1}{2}$，點(diǎn)M在橢圓C上，點(diǎn)M到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0），橢圓C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=λ（λ＞0，且λ≠1），則稱橢圓C₂是橢圓C₁的λ倍相似橢圓．已知橢圓C₂是橢圓C的3倍相似橢圓．若橢圓C的任意一條切線l交橢圓C₂于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試研究當(dāng)切線l變化時(shí)△OMN面積的變化情況，并給予證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的定義可得a=2，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，即可得到b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）依題意，求得橢圓C₂方程，當(dāng)切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為：y=kx+m，代入橢圓C₂方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，和點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合面積公式，計(jì)算即可得到定值，討論直線的斜率不存在，同樣得到定值．

解答 解：（Ⅰ）依題意，2a=4，a=2，
∵$e=\frac{1}{2}$，∴c=1，b²=a²-c²=3，
∴橢圓C方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）依題意，橢圓C₂方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=3，即\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$，
當(dāng)切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為：y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-36=0，
由△=0得m²=4k²+3，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-36}}{{3+4{k^2}}}$，
即有$|{MN}|=\sqrt{1+{k^2}}•|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{4\sqrt{3（12{k^2}+9-{m^2}）}}}{{3+4{k^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{4\sqrt{6}}}{|m|}$，
又點(diǎn)O到直線l的距離$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
∴${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}•|{MN}|•d=2\sqrt{6}$，
當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為$x=±2，|{MN}|=2\sqrt{6}$，${S_{△OMN}}=2\sqrt{6}$，
綜上，當(dāng)切線l變化時(shí)，△OMN的面積為定值$2\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義和方程及性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．