Question

5．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)锳，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂，則稱(chēng)f（x）為單函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=x+1（x∈R）是單函數(shù)．下列命題：①函數(shù)f（x）=x²-2x（x∈R）是單函數(shù)；②函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x≥2}\\{2-x，x＜2}\end{array}\right.$是單函數(shù)；③若f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；④函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)．其中的真命題是③（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）．

Answer 1

分析 利用單函數(shù)的定義，通過(guò)舉反例能排除選項(xiàng)①②④，通過(guò)反證法能得到③正確．

解答 解：對(duì)于①：∵f（x）=x²-2x（x∈R），f（0）=f（2），但0≠2，
∴①函數(shù)f（x）=x²-2x（x∈R）不是單函數(shù)；
對(duì)于②：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x≥2}\\{2-x，x＜2}\end{array}\right.$，f（2）=f（1），但f（2）≠f（1），
∴②函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x≥2}\\{2-x，x＜2}\end{array}\right.$不是單函數(shù)；
對(duì)于③：∵f（x）為單函數(shù)，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，
此時(shí)若f（x₁）=f（x₂），則由單函數(shù)定義必有x₁=x₂，
∴f（x₁）≠f（x₂），故③正確．
對(duì)于④，當(dāng)函數(shù)單調(diào)時(shí)，在單調(diào)區(qū)間上必有f（x₁）=f（x₂）時(shí)總有x₁=x₂，但在其他定義域上，不一定是單函數(shù)，
例如：函數(shù)f（x）=x²在（0，+∞）上是增函數(shù)，而它不是單函數(shù)．故④不正確．
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意單函數(shù)定義的靈活運(yùn)用．