Question

17．設(shè)曲線y=（ax-1）e^x在點A（x₀，y₀）處的切線為l₁，曲線y=（1-x）e^-x在點B（x₀，y₁）處的切線為l₂，若存在x₀∈[0，$\frac{3}{2}$]，使得l₁⊥l₂，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1]
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （1，$\frac{3}{2}$）
• D． [1，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 根據(jù)曲線方程分別求出導(dǎo)函數(shù)，把A和B的橫坐標(biāo)x₀分別代入到相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)中求出切線l₁和切線為l₂的斜率，然后根據(jù)兩條切線互相垂直得斜率乘積為-1，列出關(guān)于x0的等式，求出a，對a的函數(shù)求得導(dǎo)數(shù)，判斷為減函數(shù)，求出其值域即可得到a的取值范圍

解答 解：函數(shù)y=（ax-1）e^x的導(dǎo)數(shù)為y′=（ax+a-1）e^x，
∴l(xiāng)₁的斜率為k₁=（ax₀+a-1）${e}^{{x}_{0}}$，
函數(shù)y=（1-x）e^-x的導(dǎo)數(shù)為y′=（x-2）e^-x
∴l(xiāng)₂的斜率為k₂=（x₀-2）${e}^{-{x}_{0}}$，
由題設(shè)有k₁•k₂=-1從而有（ax₀+a-1）${e}^{{x}_{0}}$•（x₀-2）${e}^{-{x}_{0}}$=-1，
∴a（x₀²-x₀-2）=x₀-3，
∵x₀∈[0，$\frac{3}{2}$]，得到x₀²-x₀-2≠0，所以a=$\frac{{x}_{0}-3}{{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-2}$，
又a′=-$\frac{（{x}_{0}-1）（{x}_{0}-5）}{（{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-2）^{2}}$，令導(dǎo)數(shù)大于0得，1＜x₀＜5，
故a=$\frac{{x}_{0}-3}{{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-2}$在（0，1）是減函數(shù)，在（1，$\frac{3}{2}$）上是增函數(shù)，
x₀=0時取得最大值為$\frac{3}{2}$；x₀=1時取得最小值為1．
∴1≤a≤$\frac{3}{2}$．
故選D．

點評 此題是一道綜合題，考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，會求函數(shù)的值域，掌握兩直線垂直時斜率的關(guān)系．