Question

12．已知四棱錐P-ABCD底面是平行四邊形，E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn)，EF⊥BD，2AP=2AB=AD，以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)B
（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）若AB=PB，求二面角C-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析 解：（1）取PB中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G，由已知數(shù)據(jù)易證BD⊥平面PAB，進(jìn)而由面面垂直的判定定理可得平面PAB⊥平面ABCD；
（2）以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BD為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，向量法可得平面BEF的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，-1，3），平面CBE的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，0，1），由向量的夾角公式可得法向量夾角的余弦值，既得答案．

解答 解：（1）取PB中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G，
由三角形的中位線定理可得FG∥BC且FG=$\frac{1}{2}$BC，
∵AE∥BC且AE=$\frac{1}{2}$BC，∴FG∥AE且FG=AE，
∴AEFG是平行四邊形，∴EF∥AG，
又EF⊥BD，∴AG⊥BD，
由直徑所對(duì)的圓周角為90°可得∠ABD=90°，∴BD⊥AB，
又∵AG∩AB=A，∴BD⊥平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABCD；
（2）以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BD為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
令A(yù)B=2，則B（0，0，0），A（2，0，0），D（0，2$\sqrt{3}$，0），P（1，0，$\sqrt{3}$），C（-2，2$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BD}$）=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（-$\sqrt{3}$，0，1），
設(shè)平面BEF的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BE}=x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{EF}=-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{3}$可得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，-1，3），
又∵平面CBE的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（0，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
∴二面角C-BE-F的余弦值為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間向量與立體幾何，涉及面面垂直的判定和二面角的問題，屬中檔題．