Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S₁=2，S_n+1=3S_n+2（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{S_n+1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求通項公式a_n；
（Ⅲ）若數(shù)列$\left\{{\frac{b_n}{a_n}}\right\}$是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知的數(shù)列遞推式得到S_n+1+1=3（S_n+1），即可說明{S_n+1}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得S_n，當(dāng)n=1時，求得a₁=S₁=2．當(dāng)n＞1時，由a_n=S_n-S_n-1求得通項公式a_n；
（Ⅲ）由數(shù)列$\left\{{\frac{b_n}{a_n}}\right\}$是首項為1，公差為2的等差數(shù)列求其通項公式，代入a_n可得數(shù)列{b_n}的通項公式．

解答 （Ⅰ）證明：∵S_n+1=3S_n+2，S_n+1+1=3（S_n+1），
又S₁+1=3，
∴{S_n+1}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得${S_n}={3^n}-1，n∈{N^*}$．
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2．
當(dāng)n＞1時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（{3^n}-1）-（{3^{n-1}}-1）$
=3^n-1（3-1）=2×3^n-1．
故${a_n}=2×{3^{n-1}}，n∈{N^*}$；
（Ⅲ）解：∵數(shù)列$\left\{{\frac{b_n}{a_n}}\right\}$是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴$\frac{b_n}{a_n}=1+2（n-1）=2n-1$，
∴${b_n}=2（2n-1）•{3^{n-1}}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，是中檔題．