Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$，若方程f（x）=a有四個不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
則x₃（₁x+x₂）+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$的取值范圍是（-1，1]．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$的圖象，由圖象可得x₁+x₂=-2，x₃x₄=1；1＜x₄≤2；從而化簡x₃（₁x+x₂）+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出它的取值范圍．

解答 解：作出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$的圖象，
∵方程f（x）=a有四個不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，
且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
由圖可知a＜1，x₁+x₂=-2．
∵-log₂（x₃）=log₂（x₄）=a，∴x₃x₄=1；
∵0＜log₂（x₄）＜1，∴1＜x₄≤2．
故x₃（x₁+x₂）+$\frac{1}{{{x}_{3}}^{2}{x}_{4}}$=-$\frac{2}{{x}_{4}}$+x₄，
其在1＜x₄≤2上是增函數(shù)，
故-2+1＜-$\frac{2}{{x}_{4}}$+x₄≤-1+2；
即-1＜-$\frac{2}{{x}_{4}}$+x₄≤1；
故答案為：（-1，1]．

點(diǎn)評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．