Question

16．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，且a²，2$\sqrt{3}$，b²成等比數(shù)列．
（1）求C的方程；
（2）設(shè)C上一點P的橫坐標(biāo)為1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為C的左，右焦點，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析 （1）通過e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$可知$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，即3a²=4b²，利用a²，2$\sqrt{3}$，b²成等比數(shù)列可知12=a²b²，聯(lián)立計算可知a²=4、b²=3，計算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知F₁（-1，0）、F₂（1，0），通過C上一點P的橫坐標(biāo)為1可知y_P=±$\frac{3}{2}$，利用${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|y_P|計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，即3a²=4b²，①
又∵a²，2$\sqrt{3}$，b²成等比數(shù)列，
∴12=a²b²，②
聯(lián)立①②，解得：a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由（1）可知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∵C上一點P的橫坐標(biāo)為1，
∴y_P=±$\sqrt{3}$$•\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=±$\frac{3}{2}$，
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•|y_P|
=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{3}{2}$
=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．