Question

8．設(shè)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，且|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2ac，則此雙曲線的離心率為$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 不妨設(shè)P在雙曲線的右支上，設(shè)|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=t，則由雙曲線的定義可得|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=t-2a，運(yùn)用勾股定理和離心率公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：不妨設(shè)P在雙曲線的右支上，
設(shè)|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=t，則由雙曲線的定義可得|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=t-2a，
由題意可得t（t-2a）=2ac，
又$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
由勾股定理可得，
t²+（t-2a）²=4c²，
則[t-（t-2a）]²=4c²-4ac，
即為c²-ac-a²=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得
e²-e-1=0，
解得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$舍去），
故答案為：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用定義和化簡(jiǎn)整理，屬于中檔題．