Question

【題目】對任意，都存在，使得，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______

Answer 1

【答案】

【解析】

令，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得f（x）∈[﹣1，e2]，然后令g（x）＝ax﹣ex，由x1≠x2，g（x1）＝g（x2），可知y＝mlnm﹣m與y＝g（x）的圖象有2個交點，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可求解．

令，則，

當(dāng)時，f′（x）＝lnx＜0，∴f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)1＜x＜e2，f′（x）＝lnx＞0，∴f（x）單調(diào)遞增，

∵，故函數(shù)f（x）的值域為.

令g（x）＝ax﹣ex，則g′（x）＝a﹣ex，且x1≠x2，g（x1）＝g（x2），

①當(dāng)a≤0時，g′（x）＝a﹣ex＜0恒成立，∴g（x）在R上單調(diào)遞減，

與x1≠x2，g（x1）＝g（x2），矛盾

②當(dāng)a＞0時，當(dāng)x＞lna時，g′（x）＝a﹣ex＜0，∴函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x＜lna時，g′（x）＝a﹣ex＞0，∴函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，

∵當(dāng)x→﹣∞時，g（x）→﹣∞，當(dāng)x→+∞時，g（x）→﹣∞且

g（x）max＝g（lna）＝alna﹣a，

∴當(dāng)x1≠x2時，若g（x1）＝g（x2）＝mlnm﹣m，

則y＝mlnm與y＝g（x）有2個不同的交點，

∴alna﹣a＞e2＝e2lne2﹣e2，又a＞0

由f(x)的單調(diào)性可得a＞e2，

∴實數(shù)a的取值范圍為：（e2，+∞）．

故答案為：（e2，+∞）