Question

【題目】已知，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）設(shè)（其中為的導(dǎo)函數(shù)），判斷在上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若無(wú)零點(diǎn)，試確定正數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：

(1) 在定義域內(nèi)恒正，則在上單調(diào)遞增.

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論分類討論：

①當(dāng)時(shí)，不符合題意；

②當(dāng)時(shí)，不符合題意；

③當(dāng)時(shí)， 沒(méi)有零點(diǎn).

綜上所述，正數(shù)的取值范圍是.

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，則， ，

所以，所以在上單調(diào)遞增.

（Ⅱ）由知，

由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，且，可知當(dāng)時(shí)， ，

則有唯一零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為.

易知時(shí)， ， 單調(diào)遞增； 時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

故，其中.

令，則，

易知在上恒成立，所以， 在上單調(diào)遞增，且.

①當(dāng)時(shí)， ，由在上單調(diào)遞增知，

則，由在上單調(diào)遞增， ，所以，故在上有零點(diǎn)，不符合題意；

②當(dāng)時(shí)， ，由的單調(diào)性知，則，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

③當(dāng)時(shí)， ，由的單調(diào)性知，則，此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)無(wú)零點(diǎn)時(shí)，正數(shù)的取值范圍是.