Question

13．若函數(shù)f（x）=|x-1|+a|x²-2|+|x³-3|（x∈R）有最小值，則a的取值范圍是（　�。�

• A． ∅
• B． [-2，2]
• C． [2，+∞）
• D． R

Answer 1

分析 取特殊值a=0，分析函數(shù)存在最值后，可排除A，C；
取特殊值a=3，分析函數(shù)存在最值后，可排除B；

解答 解：若a=0，此時函數(shù)f（x）=|x-1|+|x³-3|=$\left\{\begin{array}{l}-{x}^{3}-x+4，x＜1\\-{x}^{3}+x+2，1≤x≤\root{3}{3}\\{x}^{3}+x-4，x＞\root{3}{3}\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜1時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，f（x）＞f（1）=2恒成立，
當(dāng)1≤x≤$\root{3}{3}$時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，f（x）≥f（$\root{3}{3}$）=$\root{3}{3}$-1恒成立，
當(dāng)x＞$\root{3}{3}$時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，f（x）＞f（$\root{3}{3}$）=$\root{3}{3}$-1恒成立，
此時函數(shù)f（x）存在最小值$\root{3}{3}$-1滿足條件，故排除A，C；
同理可得：若a=3，此時函數(shù)f（x）=|x-1|+3x²-2|+|x³-3|也存在最小值，
故排除B．
故選：D

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值，本題解答的難度過大，但因為是選擇題，可采用特殊值代入法，排除錯誤答案．