Question

10．已知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱的充要條件是f（a+x）+f（a-x）=2b（或f（x）+f（2a-x）=2b）．如果函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱，則稱點(diǎn)（a，b）為“中心點(diǎn)”，稱函數(shù)y=f（x）為“準(zhǔn)奇函數(shù)”．現(xiàn)有如下命題：
①若函數(shù)f（x）在R上的“中心點(diǎn)”為（a，f（a））則函數(shù)F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)．
②若定義在R上的偶函數(shù)y=f（x）的“中心點(diǎn)”為（1，2），則方程f（x）=2在[-10，10]上至少有10個(gè)根．
③已知函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，點(diǎn)（1，0）為函數(shù)y=f（x-1）的“中心點(diǎn)”，若不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0對(duì)任意的m，n∈R恒成立，則當(dāng)m＞3時(shí)，13＜m²+n²＜49．
其中正確的命題是①②③．（寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①利用定義法判斷出函數(shù)的奇偶性．
②根據(jù)函數(shù)y=f（x）為R上的偶函數(shù)“中心點(diǎn)”為（1，2），求出方程f（x）=4的根，即可得到結(jié)論．
③已知f（x）是定義在R上的增函數(shù)，點(diǎn)（1，0）為函數(shù)y=f（x-1）的“中心點(diǎn)”，則得到函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性即可得到結(jié)論

解答 解：對(duì)于①，∵函數(shù)y=f（x）在R上的中心點(diǎn)為（a，f（a）），
∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a）
∴f（a-x）=2f（a）-f（a+x）
∴F（-x）=f（-x+a）-f（a）=2f（a）-f（a+x）-f（a）=-（f（x+a）-f（a））=-F（x）
∴F（x）=f（x+a）-f（a）為R上的奇函數(shù)．
命題①正確．
②若函數(shù)y=f（x）為R上的偶函數(shù)“中心點(diǎn)”為（1，2），則f（x）+f（2-x）=4，
當(dāng)x=1時(shí)，2f（1）=4，∴f（1）=2，
當(dāng)x=-1時(shí)，f（-1）+f（3）=f（1）+f（3）=4，即f（3）=2，
當(dāng)x=-3時(shí)，f（-3）+f（5）=f（3）+f（5）=4，即f（5）=2，
當(dāng)x=-5時(shí)，f（-5）+f（7）=f（5）+f（7）=4，即f（7）=2，
當(dāng)x=-7時(shí)，f（-7）+f（9）=f（7）+f（9）=4，即f（9）=2，
∴方程f（x）=2為[0，10]上至少有5個(gè)根，
方程f（x）=2在[-10，10]上至少有10個(gè)根．
∴②正確．
對(duì)于③，點(diǎn)（1，0）為函數(shù)y=f（x-1）的“中心點(diǎn)”，點(diǎn)（0，0）為函數(shù)y=f（x）的“中心點(diǎn)”，
即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
則不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0等價(jià)為不等式f（m²-6m+21）＜-f（n²-8n）=（-n²+8n），
∵f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
∴m²-6m+21＜-n²+8n，
即（m-3）²+（n-4）²＜4，表示圓心為（3，4），半徑為2的圓及其內(nèi)部，
當(dāng)m＞3時(shí)，為右半圓，
設(shè)z=m²+n²，則z的幾何意義表示為動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)距離的平方，
由圖象可知當(dāng)P位于點(diǎn)A（3，6）時(shí)，z取得最大值為z=9+36=45，
當(dāng)P位于點(diǎn)B（3，2）時(shí)，z取得最小值為z=9+4=13，
∴13＜m²+n²＜45．即13＜m²+n²＜49成立，∴③正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)中心的定義的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量量較大，難度非常大．