Question

18．已知a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊
（1）若$\frac{a}{c}＜cosB$，試判斷△ABC的形狀．
（2）若cos2A+3cosA=1，a=$\sqrt{3}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余弦定理得$\frac{a}{c}＜\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，化簡(jiǎn)得a²+b²-c²＜0，從而可得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}＜0$，解得C為鈍角，即可得解．
（2）由cos2A+3cosA=1，可得cosA=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），解得A=$\frac{π}{3}$，根據(jù)余弦定理可得b²+c²-bc=3，根據(jù)基本不等式可得：bc≤3，從而可求△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）根據(jù)余弦定理得$\frac{a}{c}＜\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，化簡(jiǎn)得a²+b²-c²＜0…（2分）
$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}＜0$，C為鈍角
∴△ABC是鈍角三角形…（5分）
（2）∵cos2A+3cosA=1
∴2cos²A+3cosA-2=0
∴（cosA+2）（2cosA-1）=0
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．…（8分）
根據(jù)余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-bc=3，
根據(jù)基本不等式可得：bc≤3，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$$≤\frac{3\sqrt{3}}{4}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．