Question

19．極坐標系與直角坐標系xoy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=8cosθ．
（Ⅰ）求C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C交于A，B兩點，求弦長|AB|．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐標方程．
（II）把直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入y²=8x化為3t²-16t-64=0．利用弦長|AB|=|t₁-t₂|即可得出．

解答 解：（I）由曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=8cosθ，即ρ²sin²θ=8ρcosθ，化為y²=8x．
（II）把直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入y²=8x化為3t²-16t-64=0．
解得t₁=8，t₂=$-\frac{8}{3}$．
∴弦長|AB|=|t₁-t₂|=$8+\frac{8}{3}$=$\frac{32}{3}$．

點評 本題考查了把極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與拋物線相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．