Question

7．已知函數f（x）=x²-（-1）^k2lnx（k∈N^*）．
（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）當k為奇數時，x＞0，n∈N^*時，求證：[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數f（x）的導數，通過討論k的奇偶性，從而得到函數的單調區(qū)間；（Ⅱ）先求出函數的導數，利用倒敘相加從而證出結論．

解答 解：（Ⅰ）由已知得x＞0且${f^/}（x）=2x-{（-1）^k}•\frac{2}{x}$，
當k為奇數時，則f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數，
當k為偶數時，則${f^/}（x）=2x-\frac{2}{x}=\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
所以當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
故當k為偶數時，f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數．
（Ⅱ）由已知得，${f^/}（x）=2x+\frac{2}{x}$（x＞0），
所以左邊=${（2x+\frac{2}{x}）^n}-{2^{n-1}}•（2{x^n}+\frac{2}{x^n}）$
=${2^n}（C_n^1{x^{n-2}}+C_n^2{x^{n-4}}+…+C_n^{n-2}\frac{1}{{{x^{n-4}}}}+C_n^{n-1}\frac{1}{{{x^{n-2}}}}）$，
令S=$C_n^1{x^{n-2}}+C_n^2{x^{n-4}}+…+C_n^{n-2}\frac{1}{{{x^{n-4}}}}+C_n^{n-1}\frac{1}{{{x^{n-2}}}}$，
倒序相加得$2S=C_n^1（{x^{n-2}}+\frac{1}{{{x^{n-2}}}}）+C_n^2（{x^{n-4}}+\frac{1}{{{x^{n-4}}}}）+…+C_n^{n-2}（\frac{1}{{{x^{n-4}}}}+{x^{n-4}}）+C_n^{n-1}（\frac{1}{{{x^{n-2}}}}+{x^{n-2}}）$
≥2$（C_n^1+C_n^2+…+C_n^{n-2}+C_n^{n-1}）$
=2（2ⁿ-2），可得S≥（2ⁿ-2），
所以：[f′（x）]ⁿ-2^n-1f′（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2），成立．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，考查不等式的證明，是一道中檔題．