Question

10．已知函數f（x）=|2x-1|+|2x+a|（a＞0）
（1）當a=3時，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）若關于x的不等式f（x）＞2a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=3時，不等式即|x-$\frac{1}{2}$|+|x+$\frac{3}{2}$|≤3，再根據絕對值的意義，求得不等式的解集．
（2）利用絕對值三角不等式求得|2x-1|+|2x+a|的最小值為a+1，可得a+1＞2a，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）當a=3時，不等式f（x）≤6，即|2x-1|+|2x+3|≤6，即|x-$\frac{1}{2}$|+|x+$\frac{3}{2}$|≤3．
|x-$\frac{1}{2}$|+|x+$\frac{3}{2}$|表示數軸上的x對應點到-$\frac{3}{2}$、$\frac{1}{2}$對應點的距離之和，而-2和1對應點到-$\frac{3}{2}$、$\frac{1}{2}$對應點的距離之和正好等于3，
故不等式的解集為[-2，1]．
（2）因為不等式|2x-1|+|2x+a|＞2a恒成立，a＞0，而|2x-1|+|2x+a|≥|（2x-1）-（2x+a）|=|a+1|=a+1，
故a+1＞2a，求得0＜a＜1．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．