Question

8．近年來(lái)世界各地地震頻繁發(fā)生，給人民的生命和財(cái)產(chǎn)帶來(lái)了重大損失，地震的陰云籠罩在人們心頭，揮之不去，不少民眾生活在地震恐慌之中．為了有效做好室外地震預(yù)防，某公司組織設(shè)計(jì)人員特別設(shè)計(jì)了一款帳篷，要求：帳篷下部的形狀是高為1m的正四棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正四棱錐，且要使帳篷的體積最大．那么，這個(gè)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O₁的距離應(yīng)設(shè)計(jì)為多少？

Answer 1

分析 設(shè)出頂點(diǎn)O到底面中心o₁的距離，再求底面邊長(zhǎng)和底面面積，求出體積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出高為何時(shí)體積取得最大值．

解答 解：設(shè)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O₁的距離為h（1＜h＜4），
則帳篷底面正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為a=2$\sqrt{3-（h-1）^{2}}$=2$\sqrt{8-{h}^{2}+2h}$．
∴底面正方形的面積S=$\frac{1}{2}{a}^{2}$=2（8-h²+2h）=-2h²+4h+16．
∴帳篷的體積V（h）=（-2h²+4h+16）（1+$\frac{1}{3}$（h-1））=-$\frac{2}{3}{h}^{3}$+8h+$\frac{32}{3}$．
求導(dǎo)得V′（h）=-2h²+8．
令V′（h）=0得h=2或h=-2（舍）．
當(dāng)1＜h＜2時(shí)，V'（h）＞0，V（h）為增函數(shù)；
當(dāng)2＜h＜4時(shí)，V'（h）＜0，V（h）為減函數(shù)．
所以當(dāng)h=2時(shí)，V（h）最大．
答：當(dāng)OO₁為2m時(shí)，帳篷的體積最大．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．