Question

18．已知數(shù)列{a_n}的通項為a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$+n2^n-1，則其前n項和S_n=$\frac{n}{n+1}$+（n-1）2ⁿ+1．

Answer 1

分析 構造數(shù)列b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，c_n=n2^n-1，從而分別求其前n項和，從而解得．

解答 解：令b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
令c_n=n2^n-1，
故T′_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1+2•2+3•2²+…+n2^n-1，
2T′_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n2ⁿ，
兩式相減可得，
T′_n=-1-2-2²-2³-…-2^n-1+n2ⁿ
=-$\frac{1（1-{2}^{n}）}{1-2}$+n2ⁿ
=（n-1）2ⁿ+1；
故S_n=$\frac{n}{n+1}$+（n-1）2ⁿ+1．
故答案為：$\frac{n}{n+1}$+（n-1）2ⁿ+1．

點評 本題考查了構造法的應用及裂項求和法與錯位相減法的應用，屬于中檔題．