Question

3．為了解某地區(qū)某種農產品的年產量x（單位：噸）對價格y（單位：千元/噸）和利潤z的影響，對近五年該農產品的年產量和價格統(tǒng)計如表：

x	1	2	3	4	5
y	7.0	6.5	5.5	3.8	2.2

（Ⅰ）求y關于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（Ⅱ）若每噸該農產品的成本為2千元，假設該農產品可全部賣出，預測當年產量為多少時，年利潤z取到最大值？（保留兩位小數(shù)）
參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}{y}_{i}）-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)回歸系數(shù)公式計算回歸系數(shù)；
（II）求出利潤z的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質而出最大值．

解答 解：（Ⅰ）$\overline{x}=3$，$\overline{y}=5$，
$\sum_{i=1}^5{x_i}=15$，$\sum_{i=1}^5{y_i}=25$，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=62.7$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=55$，
∴$\hat b=-1.23$，$\hat a=8.69$．
∴y關于x的線性回歸方程為$\hat y=8.69-1.23x$．
（Ⅱ）z=x（8.69-1.23x）-2x=-1.23x²+6.69x．
所以x=2.72時，年利潤z最大．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法，線性回歸方程的應用，二次函數(shù)的最值，屬于基礎題．