Question

4．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{{4n}^{2}-1}$，則實(shí)數(shù){a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{4n-3}{2（2n-1）}$．

Answer 1

分析 通過變形、裂項(xiàng)可知a_n+1-a_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），進(jìn)而累加計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{{4n}^{2}-1}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{{4n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴a_n-a_n-1=$\frac{1}{{4n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），a_n-1-a_n-2=$\frac{1}{{4n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-5}$-$\frac{1}{2n-3}$），…，a₂-a₁=$\frac{1}{{4n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$），
累加得：a_n-a₁=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n-1}$）=$\frac{n-1}{2n-1}$，
∴a_n=$\frac{n-1}{2n-1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{4n-3}{2（2n-1）}$，
故答案為：$\frac{4n-3}{2（2n-1）}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，裂項(xiàng)、利用累加法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．