Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]
（1）求函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-2|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$的值域；
（2）設(shè)g（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+t|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，若關(guān)于x的方程g（x）+2=0有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$=1.$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cos2x，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=4cos²x，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$=2cosx，f（x）=2（cosx-1）²-3，由cosx∈[0，1]，即可得出函數(shù)f（x）的值域．
（2）g（x）+2=2cos²x+2tcosx+1，若關(guān)于x的方程g（x）+2=0有兩個不同的實數(shù)解，令cosx=u∈[0，1]，F(xiàn)（u）=2u²+2tu+1，可得$\left\{\begin{array}{l}{△=4{t}^{2}-8＞0}\\{0＜-\frac{2t}{4}＜1}\\{F（0）≥0}\\{F（1）≥0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$=1．
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cos$\frac{3x}{2}$•cos$\frac{x}{2}$-$sin\frac{3x}{2}$•sin$\frac{x}{2}$=cos2x，
$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2+2cos2x=4cos²x，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$=2cosx，
∴$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b-2|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$=cos2x-4cosx
=2cos²x-4cosx-1
=2（cosx-1）²-3，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴cosx∈[0，1]，
∴f（x）∈[-3，-1]．
（2）g（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+t|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=cos2x+2tcosx，
∴g（x）+2=2cos²x+2tcosx+1，
若關(guān)于x的方程g（x）+2=0有兩個不同的實數(shù)解，
令cosx=u∈[0，1]，
F（u）=2u²+2tu+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4{t}^{2}-8＞0}\\{0＜-\frac{2t}{4}＜1}\\{F（0）≥0}\\{F（1）≥0}\end{array}\right.$，
∴t∈$[-\frac{3}{2}，-\sqrt{2}）$．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性、和差公式、倍角公式、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．