Question

4．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，試推測出數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，兩邊取倒數(shù)：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
故答案為：$\frac{1}{2n-1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了變形能力、計算能力，屬于中檔題．