Question

11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sin2C+$\sqrt{3}$cos（A+B）=0
（1）若a=4，c=$\sqrt{13}$，求△ABC的面積；
（2）若A=$\frac{π}{3}$，cosB＞cosC，求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}-3\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）先化簡(jiǎn)條件求出C的大小，結(jié)合三角形的面積公式即可求出△ABC的面積；
（2）由A=$\frac{π}{3}$，cosB＞cosC，求出C的大小，結(jié)合向量的數(shù)量積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}-3\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$的值．

解答 解：（1）∵sin2C+$\sqrt{3}$cos（A+B）=0
∴2sinCcosC-$\sqrt{3}$cosC=0，
即cosC（2sinC-$\sqrt{3}$）=0，
即cosC=0，或sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
即C=$\frac{π}{2}$或C=$\frac{π}{3}$或C=$\frac{2π}{3}$，
∵a=4，c=$\sqrt{13}$，
∴a＞c，
即C不是最大值，
則C=$\frac{π}{3}$，
則c²=b²+a²-2abcos$\frac{π}{3}$，
即13=16+b²-2b×$4×\frac{1}{2}$，
即b²-4b+3=0，
解得b=1或b=3，
若b=1，則三角形的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×4×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$
若b=3，則三角形的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×4×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$；
（2）由（1）知C=$\frac{π}{2}$或C=$\frac{π}{3}$或C=$\frac{2π}{3}$，
若A=$\frac{π}{3}$，
則C=$\frac{2π}{3}$不成立，舍去，
∵cosB＞cosC，
∴B＜C，
則C＞$\frac{π}{3}$，
∴C=$\frac{π}{2}$，
即三角形為直角三角形．
則b=$\frac{1}{2}$c，a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{CA}-3\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$=accos150°-0-3bccos120°=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ac+$\frac{3}{2}$bc=-$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$c²+$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$c²=$-\frac{3}{4}$c²+$\frac{3}{4}$c²=0

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)條件求出C的大小是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．