Question

1．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)面ADD₁A₁⊥底面ABCD，D₁A=D₁D=$\sqrt{2}$，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn)．
（Ⅰ） 求證：A₁O∥平面AB₁C；
（Ⅱ） 求直線CC₁與平面AC₁D₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲證A₁O∥平面AB₁C，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證A₁O與平面AB₁C內(nèi)一直線平行，連接CO、A₁O、AC、AB₁，利用平行四邊形可證A₁O∥B₁C，又A₁O?平面AB₁C，B₁C⊆平面AB₁C，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知D₁O⊥底面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，OC、OD、OD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，求出平面AC₁D₁的法向量，利用向量夾角公式即可求出直線CC₁與平面AC₁D₁所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，連接CO，AC，則四邊形ABCO為正方形，
所以O(shè)C=AB=A₁B₁，且OC∥AB∥A₁B₁，
故四邊形A₁B₁CO為平行四邊形，所以A₁O∥B₁C，
又A₁O?平面AB₁C，B₁C?平面AB₁C，所以A₁O∥平面AB₁C．…（5分）
（Ⅱ）解：因?yàn)镈₁A=D₁D，O為AD的中點(diǎn)，所以D₁O⊥AD，
又側(cè)面ADD₁A₁⊥底面ABCD，交線為AD，
故D₁O⊥底面ABCD．…（6分）
以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz如圖所示，則D₁（0，0，1），A（0，-1，0），D（0，1，0），C（1，0，0），A₁（0，-2，1），B（1，-1，0），$\overrightarrow{{D_1}{C_1}}=\overrightarrow{DC}=（{1，-1，0}）$，$\overrightarrow{A{D_1}}=（{0，1，1}）$，$\overrightarrow{C{C_1}}=\overrightarrow{D{D_1}}=（{0，-1，1}）$，…（7分）
設(shè)平面AC₁D₁的法向量為$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{A{D_1}}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{{D_1}{C_1}}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}y+z=0\\ x-y=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=y\\ z=-y\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow n=（{1，1，-1}）$，…（10分）
設(shè)直線CC₁與平面AC₁D₁所成角為θ，則
$sinθ=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{C{C_1}}}|}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{C{C_1}}}|}}=\frac{2}{{\sqrt{3}×\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（13分）
所以直線CC₁與平面AC₁D₁所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面平行的判定，以及利用空間向量的方法求解二面角等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了空間想象能力、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．