Question

2．當0＜x＜a時，不等式$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{（a-x）^{2}}$≥4恒成立，則a的取值范圍為（0，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 設f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{（a-x）^{2}}$，（0＜x＜a），由題意可得4≤f（x）_min對0＜x＜a成立．求出f（x）的導數，求得單調區(qū)間和極小值，也為最小值，解出不等式即可得到a的范圍．

解答 解：設f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{（a-x）^{2}}$，（0＜x＜a），
由題意可得4≤f（x）_min對0＜x＜a成立．
由f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{3}}$+$\frac{2}{（a-x）^{3}}$=$\frac{2（2x-a）[{x}^{2}+x（a-x）+（a-x）^{2}]}{{x}^{3}（a-x）^{3}}$，
當0＜x＜$\frac{a}{2}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當$\frac{a}{2}$＜x＜a時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有x=$\frac{a}{2}$處f（x）取得極小值，也為最小值，且為$\frac{8}{{a}^{2}}$．
則$\frac{8}{{a}^{2}}$≥4，
解得0＜a≤$\sqrt{2}$．
故答案為：（0，$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，同時考查運用導數求最值的方法，考查運算能力，屬于中檔題．