Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+2（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得a≥2；
（2）配方，分類討論，求出函數(shù)的最小值、最大值，即可求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-2ax+2在（-∞，2）上單調(diào)遞減，
∴a≥2；
（2）f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²-a²+2．
①當(dāng)a∈（-∞，-1）時(shí)，f（x）在[-1，2）上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（-1）=2a+3，f（x）_max=f（2）=6-4a，
∴值域[2a+3，6-4a]；
②當(dāng)a∈[-1，0.5）時(shí)，f（x）_min=f（a）=2-a²，f（x）_max=f（2）=6-4a，∴值域[2-a²，6-4a]；
③當(dāng)a∈[0.5，2]時(shí)，f（x）_min=f（a）=2-a²，f（x）_max=f（-1）=2a+3，∴值域[2-a²，2a+3]；
④當(dāng)a∈（2，+∞）時(shí)，f（x）_min=f（2）=6-4a，f（x）_max=f（-1）=2a+3，∴值域[6-4a，2a+3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、值域，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類討論是關(guān)鍵．