Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n+2}{n}$（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由已知直接求出a₂，a₃，a₄；
（2）把（1）中求得的數(shù)列的前幾項(xiàng)變形，歸納得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：（1）由a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n+2}{n}$，得${a}_{n+1}=\frac{（n+2）（{a}_{n}+1）}{n}$，
則a₂=6，a₃=14，a₄=25；
（2）由（1）可知，${a}_{1}=\frac{1×2}{2}，{a}_{2}=6=\frac{4×3}{2}，{a}_{3}=14=\frac{7×4}{2}$$，{a}_{4}=25=\frac{10×5}{2}$．
猜想${a}_{n}=\frac{（3n-2）（n+1）}{2}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式成立：
①當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{（3n-2）（n+1）}{2}=1={a}_{1}$，結(jié)論成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，結(jié)論成立，即${a}_{k}=\frac{（3k-2）（k+1）}{2}$，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，${a}_{k+1}=\frac{（k+2）（{a}_{k}+1）}{k}$=$\frac{（k+2）[\frac{（3k-2）（k+1）}{2}+1]}{k}$=$\frac{（k+2）（3{k}^{2}+k）}{2k}=\frac{（3k+1）（k+2）}{2}$．
故當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
綜上所述，對(duì)n∈N^*，總有${a}_{n}=\frac{（3n-2）（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．