Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，△PAD是正三角形，四邊形ABCD是矩形，且AD=$\sqrt{2}$AB，E為PB的中點．
（1）求證：PD∥平面ACE；
（2）求證：AC⊥PB．

Answer 1

分析 （1）由圖形，連接BD交AC于一點O，連接EO，可以看到線面是平行的，下用線面平行的判定定理證明；
（2）以AD的中點M為原點，分別以MD，MO，MP方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，設AB=1，則可求M，A，C，B，P點的坐標，從而可求$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{2}$，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），由于$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{PB}$=0，即可證明AC⊥PB．

解答 證明：（1）連接BD交AC于點O，連接EO，則O為BD的中點，
又∵E為PB的中點，
∴EO∥PD，
∴PD∥平面EAC．
（2）解：如圖所示，以AD的中點M為原點，分別以MD，MO，MP方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，設AB=1，
則M（0，0，0），A（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，0），B（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
故：$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{2}$，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
由于$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{PB}$=0，
故AC⊥PB．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的性質，直線與平面平行的判定，考查了空間向量的應用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于基本知識的考查．