Question

9．設(shè)a，b，c 均為正數(shù)，且a+b+c=1，
證明：（1）ab+bc+ca≤$\frac{1}{3}$；
（2）$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥1．

Answer 1

分析 （1）a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，由累加法，再由三個(gè)數(shù)的完全平方公式，即可得證；
（2）$\frac{{a}^{2}}$+b≥2a，$\frac{^{2}}{c}$+c≥2b，$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，運(yùn)用累加法和條件a+b+c=1，即可得證．

解答 證明：（1）由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，
可得a²+b²+c²≥ab+bc+ca，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取得等號(hào)）
由題設(shè)可得（a+b+c）²=1，即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1，
即有3（ab+bc+ca）≤1，則ab+bc+ca≤$\frac{1}{3}$；
（2）$\frac{{a}^{2}}$+b≥2a，$\frac{^{2}}{c}$+c≥2b，$\frac{{c}^{2}}{a}$+a≥2c，
故$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$+（a+b+c）≥2（a+b+c），
即有$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c．（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取得等號(hào)）．
故$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用基本不等式和累加法證明，考查推理能力，屬于中檔題．