Question

8．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁上一點(diǎn)，且DE=$\frac{1}{3}$DD₁，F(xiàn)是側(cè)面CDD₁C₁上的動(dòng)點(diǎn)，且B₁F∥平面A₁BE，則B₁F與平面CDD₁C₁所成角的正切值構(gòu)成的集合是（　�。�

• A． {$\frac{3}{2}$}
• B． {$\frac{2}{5}\sqrt{13}$}
• C． {m|$\frac{3}{2}$≤m≤$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$}
• D． {m|$\frac{2}{5}$$\sqrt{13}$≤m≤$\frac{3}{2}$}

Answer 1

分析 分別在CC₁、C₁D₁上取點(diǎn)N、M，使得CN=$\frac{1}{3}$CC₁，D₁M=$\frac{1}{3}$D₁C₁，連接B₁N、B₁M，可證明平面MNB₁∥平面A₁BE，由B₁F∥平面A₁BE知點(diǎn)F在線段MN上，易證∠B₁FC₁為B₁F與平面CDD₁C₁所成角，tan∠B₁FC₁=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{{C}_{1}F}$，設(shè)出棱長(zhǎng)，可求得C₁F的最大值、最小值，從而可得答案．

解答 解：如圖：分別在CC₁、C₁D₁上取點(diǎn)N、M，
使得CN=$\frac{1}{3}$CC₁，D₁M=$\frac{1}{3}$D₁C₁，連接B₁N、B₁M，則MN∥CD₁，
∵BC∥AD，BC=AD，AD∥A₁D₁，AD=A₁D₁，∴BC∥A₁D₁，BC=A₁D₁，
∴四邊形BCD₁A₁為平行四邊形，則CD₁∥BA₁，
∴MN∥BA₁，
∵CN=$\frac{1}{3}$CC₁，DE=$\frac{1}{3}$DD₁，∴NE∥C₁D₁，NE=C₁D₁，
又C₁D₁∥A₁B₁，C₁D₁=A₁B₁，
∴NE∥A₁B₁，NE=A₁B₁，
∴四邊形NEA₁B₁為平行四邊形，則B₁N∥A₁E，
且MN∩B₁N=N，
∴平面MNB₁∥平面A₁BE，
∵B₁F∥平面A₁BE，點(diǎn)F必在線段MN上，
連接C₁F，∵B₁C₁⊥平面CDD₁C₁，∴∠B₁FC₁即為B₁F與平面CDD₁C₁所成角，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為3，則C₁N=C₁M=2，當(dāng)F為MN中點(diǎn)時(shí)，C₁F最短為$\sqrt{2}$，
當(dāng)F與M或N重合時(shí)，C₁F最長(zhǎng)為2，
tan∠B₁FC₁=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{{C}_{1}F}$∈[$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]，即所求正切值的取值范圍是[$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面所成的角、面面平行的判定及性質(zhì)，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力及空間想象能力．