Question

8．已知函數(shù)f（x）=（a+1）sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的最小正周期為2π，最大值為5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-$\sqrt{15}$在x∈（0，π）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)α、β，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)函數(shù)的周期和最值，建立方程求出a的值，進(jìn)一步確定函數(shù)的解析式．
（2）利用（1）的解析式，進(jìn)一步求出sin（α+φ）=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，進(jìn)一步求得：cos（β+φ）=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．當(dāng)且僅當(dāng)α+β+2φ=π時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-$\sqrt{15}$在x∈（0，π）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．最后利用誘導(dǎo)公式求出：cos（α+β）的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（a+1）sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的最小正周期為2π，最大值為5．
所以：$T=\frac{2π}{ω}=2π$
解得：ω=1．
另：$\sqrt{（a+1）^{2}+{a}^{2}}=5$
解得：a=3．
所以函數(shù)f（x）=4sinx+3cosx
=5sin（x+φ），且tanφ=$\frac{3}{4}$，
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-$\sqrt{15}$在x∈（0，π）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)α、β，
即：5sin（α+φ）=$\sqrt{15}$
解得：sin（α+φ）=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，sin（β+φ）=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
進(jìn)一步求得：cos（β+φ）=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
當(dāng)且僅當(dāng)α+β+2φ=π時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-$\sqrt{15}$在x∈（0，π）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
故：cos（α+β）
=cos（π-2φ）
=-cos2φ
=$-\frac{1-{tan}^{2}φ}{1+{tan}^{2}φ}=-\frac{7}{25}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的周期和最值的應(yīng)用．函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用．